المجموعات، تقاطعها واتحادها لصف التاسع العام ( المنهج الإماراتي )

سنتعلم في هذا الدرس من دروس الرياضيات، كيف نوجد تقاطع مجموعتين، وكيف نوجد اتحاد مجموعتين مع إعطاء أمثلة على ذلك.

تقاطع مجموعتين:

يقصد بتقاطع مجموعتين الموجودة في كلا المجموعتين ، أي العناصر المشتركة فقط.

بصيغة الرموز: إن كان لدينا مجموعتين A ، B فيرمزلتقاطعهما بالرمز:

حيث أنّ عناصر مجموعة التقاطع هي العناصر الموجودة في المجموعتين A و B معاً

على سبيل المثال:

إذا كانت عناصر المجموعة A هي:

{ 15، 14 ، 12 ، A ={ 10

وكانت عناصر المجموعة B هي:

{ B ={ 13،14،15،16،17

والمطلوب: إيجاد تقاطع المجموعتين والتي يرمزلها بالرمز

الحل:

لإيجاد مجموعة عناصر تقاطع المجموعتين ننظر إلى عناصر المجموعة A وإلى عناصر المجموعة B ونحدد العناصر المشتركة بينهما ، فنلاحظ بسهولة أن الأعداد 14، 15 هي أعداد مشتركة في كلا المجموعتين ومنه فإن:

{14 ، 15{=

ملاحظة: قد يستخدم حرف العطف و للتعبير عن تقاطع مجموعتين ، أي أنه عندما يقال A و B فإنه يقصد بذلك مجموعة التقاطع للمجموعتين A و B

 

إيجاد التقاطعات لثلاثة مجموعات:

لنعطي مثال على ذلك:

يجرى تقويم ثلاثة أدوية تجريبية من  حيث السلامة ، ولكل منها آثار جانبية رصدها 1 % على الأقل من الأشخاص الذين جربوا الدواء . وهذه تجربة عمياء ولذا سيرمزإلى الأدوية بالرموز : A ، B ،C وهي تمثل الآثار الجانبية لكل منها.

{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين }=   A

                                                              {زيادة الوزن ، غثيان ، عصبية ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم}=  B

{ جفاف الفم، غثيان ، رؤية مشوشة ، حمى ، فقدان وزن، إكزيما  }= C

والمطلوب:

جد كل من المجموعات الآتية:

 

 

الحل:

a) لإيجاد عناصر تقاطع المجموعتين A و B ننظر إلى عناصر المجموعة A وإلى عناصر المجموعة B ثمّ نقوم بإيجاد العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين أي الآثار لجانبية المشركة بينهما  فنلاحظ أنها  الغثيان و العصبية ومنه نكتب:

{عصبية ، غثيان } =

b) لإيجاد عناصر تقاطع المجموعتين B ، C ننظر إلى عناصر المجموعة C وإلى عناصر المجموعة B ثمّ نقوم بإيجاد العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين أي الآثار لجانبية المشركة بينهما  فنلاحظ أنها ثلاثة عناصر أو آثار جانبية وهي: الحمى والغثيان والرؤية المشوشة ومنه نكتب:

{ الرؤية المشوشة ، الغثيان ،  الحمى} =

c) لإيجاد عناصر تقاطع المجموعات  B ، C، A ننظر إلى عناصر كل من المجموعات الثلاثة ثمّ نقوم بإيجاد العناصر المشتركة بينها فنلاحظ أن هناك عنصر مشترك وحيد أو أثر جانبي وحيد وهو الغثيان

 

المجموعات المنفصلة:

نقول عن مجموعتين أنهما منفصلتان عندما لايكون بينهما عناصر مشتركة ، وبهذه الحالة يكون تقاطعهما هو المجموعة الخالية.

مثال: إذا كان لدينا مجموعتين مجموعة طلاب الصف العاشر ومجموعة طلاب صف الحادي عشر فإن تقاطع المجموعتين هو المجموعة الخالية حيث لايمكن أن يكون هناك طالب مشترك بين المجموعتين.

اتحاد مجموعتين:

يقصد باتحاد مجموعتين مجموعة العناصر الموجودة في المجموعة A أو الموجودة في المجموعة B أو الموجودة في كليهما .

ويرمز لاتحاد مجموعتين بالرمز:

أي حين يطلب تعيين عناصر الاتحاد نكتب جميع العناصر الموجودة في كلا المجموعتين ولكن نكتب العناصر المكررة الموجودة في كلا المجموعتين مرة واحدة فقط ، وسنفهم ذلك من خلال الأمثلة.

مثال:

إذا كانت:   { 5 ،10، 15 ، 20} =A       و         { 5 ، 20 ، 30 ، 45 }  =  B

والمطلوب: أوجد اتحاد المجموعتين

الحل: لإيجاد المجموعتين نكتب جميع العناصر الموجودة في المجموعتين ولكن لانكرر العناصر المشتركة ،أي أننا لانكتب الأعداد

5 ، 20 إلاّ مرة واحدة فقط ومنه تكون الإجابة:

{ 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 30 ، 45}     =

 

مثال: 

بالعودة إلى مثال الأدوية السابق وهو :

يجرى تقويم ثلاثة أدوية تجريبية من  حيث السلامة ، ولكل منها آثار جانبية رصدها 1 % على الأقل من الأشخاص الذين جربوا الدواء . وهذه تجربة عمياء ولذا سيرمزإلى الأدوية بالرموز : A ، B ،C وهي تمثل الآثار الجانبية لكل منها.

{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين }=   A

                                                              {زيادة الوزن ، غثيان ، عصبية ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم}=  B

{ جفاف الفم، غثيان ، رؤية مشوشة ، حمى ، فقدان وزن، إكزيما  }= C

والمطلوب:

جد كل من المجموعات الآتية:

الحل:

a) لإيجاد اتحاد المجموعتين A و B نكتب جميع الأعراض الجانبية لهاتين المجموعتين مع عدم تكرار الآثار الجانبية المكررة ومنه تكون الإجابة المطلوبة هي:

{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين ، زيادة وزن ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم }=

b) لإيجاد اتحاد المجموعتين B و C نكتب جميع الأعراض الجانبية لهاتين المجموعتين مع عدم تكرار الآثار الجانبية المكررة ومنه

تكون الإجابة المطلوبة هي:

{زيادة الوزن ، غثيان ، عصبية ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم ، جفاف الفم ، فقدان وزن ، اكزيما }=

c) لإيجاد اتحادالمجموعات الثلاثة نكتب جميع الآار الجانبية لكافة المجموعات مع عدم كتابة الآثار المكررة سوى مرة واحدة فقط ومنه تكون الإجابة المطلوبة :

{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين، زيادة الوزن ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم، فقدان وزن، إكزيما }=