تحليل ثلاثية الحدود للثالث المتوسط ( المنهج السعودي )

سنتعلم في هذا الدرس من دروس الرياضيات كيف نحلل ثلاثية الحدود من النمط:

 

 

لتحليل ثلاثية الحدود السابقة لدينا ثلاث حالات :

الحالة الأولى: عندما يكون ب ، ج موجبين

نوجد عددين صحيحين م ، ن موجبين بحيث يكون مجموعهما يساوي ب وناتج ضربهما يساوي ج ثم نكتب :

 

 

 

على الشكل:

( س + م ) ( س + ن )      ، حيث م + ن = ب     و      م ن = ج

مثال: حلل ثلاثية الحدود

 

 

الحل:

طريقة الحل: نبحث عن عددين موجبين بحيث يكون ناتج جمعهما يساوي 6 وناتج ضربهما يساوي 8

ولإيجاد هذين العددين بسهولة نكتب كل الأعداد الموجبة التي يكون حاصل ضربها يساوي 8 ثمّ نختار منها العددان اللذان يكون حاصل جمعهما يساوي 6

الأعداد التي جداؤها يساوي العدد 8 هي:

1 * 8 = 8

2 * 4 = 8

ثمّ نختار عددان من بين هذه الأعداد مجموعهما يساوي العدد 6 فنلاحظ بسهولة أن العددان اللذان يكون ناتج جمعهما يساوي العدد 6 هما العددان:

2 ، 4 فتكتب نتيجة التحليل بالشكل:

 

مثال2:

حلل ثلاثية الحدود الآتية:

 

 

 

طريقة الحل: نحلل بنفس طريقة المثال السابق وذلك بالبحث عن عددين صحيحين موجبين بحيث يكون ناتج ضربهما يساوي العدد 20 وناتج جمعهما يساوي العدد 9

نبحث أولاً عن عددين ناتج ضربهما يساوي العدد 20

الأعداد هي:

20 * 1 = 20

5 * 4 = 20

10 * 2 = 20

ونبحث من بين هذه الأعداد عن العددين اللذين يكون ناتج جمعهما يساوي العدد 9 فنلاحظ أن الععدان هما 4 ، 5

فنكتب ناتج تحليل العبارة بالشكل:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل:

أ) لتحليل كثيرة الحدود نحل بنفس طريقة المثالين السابقين ، وذلك بأن نبحث عن عددين جداؤهما يساوي العدد 24 وناتج جمعهما يساوي العدد 11

نكتب جميع الأعداد التي يكون جداؤها يساوي العدد 24 وهي:

24 *1 = 24

12 * 2 = 24

6 * 4 =24

8 * 3 =24

ونبحث بين هذه الأعداد عن العددين اللذين يكون ناتج جمعهما يساوي 11 فنلاحظ بسهولة أن العددين هما 8 ، 3

فتكون نتيجة التحليل هي :

( د + 3 ) ( د + 8 )

الحالة الثانية: عندما تكون ب سالبة  و  ج موجبة

مثال:

حلل ثلاثية الحدود الآتية:

 

 

 

 

بما أن ج موجبة و ب سالبة في ثلاثية الحدود أي ب = -8  و   ج = +12 لذا يجب علينا إيجاد عددين سالبين بحيث يكون مجموعهما – 8  وناتج ضربهما يساوي العدد 12

ولنكتب أولاً جميع الأعداد ( بحيث يكون العددين سالبين )  التي يكون ناتج جداؤها يساوي العدد 12 وهي:

-12 * -1 = 12

-4 * – 3 = 12

– 6 * – 2 = 12

نختار من هذه الأعداد العددين اللذين يكون مجموعهما يساوي العدد – 8 فنلاحظ بسهولة أن العددين هما -6 ، -2

ونكتب ناتج تحليل ثلاثية الحدود بالشكل:

= ( س – 6 ) ( س – 2 )

 

 

 

 

 

 

الحل:

أ) في هذا التمرين يجب علينا إيجاد عددين بحيث يكون ناتج جداؤهما يساوي العدد 21 وناتج مجموعهما يساوي – 22

نكتب أولاً جميع الأعداد الصحيحة ( نختار العددين سالبين ) التي يكون جداؤها يساوي العدد 21 وهي:

 

-21 * -1 = 21

-7 * – 1=21

نختار من بين هذه الأعداد العددين اللذين يكون ناتج جمعهما يساوي -22 فنلاحظ بسهولة أن العددين هما: -21 ، -1

فيكون ناتج التحليل بالشكل:

( م – 1 )( م -21 )

 

ب) بنفس الطريقة في التمارين السابقة علينا إيجاد عددين سالبين جداؤهما +28 وناتج مجموعهما يساوي العدد -11

نكتب أولاً جميع الأعداد الصحيحة التي يكون جداؤها يساوي العدد 28 وهي:

-28 * -1 = 28

-14 * -2 = 28

-7 * -4 = 28

ونختار من بين هذه الأعداد العددين اللذين يكون مجموعهما يساوي -11 فنلاحظ بسهولة أن العددين هما – 7 و -4

نكتب ناتج التحليل بالشكل:

= ( و – 7 ) ( و – 4 )

 

الحالة الثالثة: عندما تكون ج سالبة

مثال1 : حلل ثلاثية الحدود

 

 

 

في ثلاثية الحدود هذه لدينا ب = + 2   و ج = -15 وبما أن ج سالبة فإن:   م    و   ن عددان مختلفان بالإشارة

وبما أن ب موجبة فالعدد الذي تكون قيمته المطلقة أكبر هو العدد الموجب

الحل: نختار عددين بحيث يكون جداؤهما يساوي -15 ( على أن يكون أحدهما موجباً والآخر سالباً )

الأعداد هي:

15 * -1 = -15      ( القيمة المطلقة للعدد 15 أكبر من القيمة المطلقة للعدد 1 لذا فإن القيمة الموجبة هي للعدد 15 والقيمة السالبة هي للعدد 1 )

-3 * +5 = – 15

نلاحظ أن ناتج جمع العددين + 5 ، -3 هي +2 لذا فسنختار هذين العدديين فتصبح نتيجة التحليل بالشكل:

( س -3 ) ( س + 5 )

مثال 2: حلل ثلاثية الحدود الآتية

 

 

 

 

الحل: نلاحظ في هذا التمرين أن ب = -7   و ج= -18 إذاً م أو ن سالبة وليس كلاهما وبما أن ب سالبة فيكون العدد الذي قيمته المطلقة أكبر هو العدد السالب ، ثمّ نحلل بنفس طريقة التمرين السابق وذلك بإيجاد عددين ناتج ضربهما يساوي -18 ( بحيث يكون أحدهما موجب والآخر سالب ) ويكون ناتج جمعهما يساوي -7

أولاً نبحث عن عددين ناتج جداؤهما يساوي العدد -18 ونكتبها:

-18 * +1 = -18   ( اخترنا الاشارة السالبة للعدد 18 لأن قيمته المطلقة أكبر )

+2 * -9 = -18     ( اخترنا الاشارة السالبة للعدد 9 لأن قيمته المطلقة أكبر )

-6 * +3 = -18     ( اخترنا الاشارة السالبة للعدد 6 لأن قيمته المطلقة أكبر )

ثمّ نختار العددين اللذين يكون ناتج جمعهما يساوي العدد -7 فنلاحظ بسهولة أن العددين هما +2 ، -9 فتصبح نتيجة التحليل بالشكل:

( س + 2 ) ( س – 9 )